{"id":8468,"date":"2025-08-10T00:00:00","date_gmt":"2025-08-10T04:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/old.fredlopes.com.br\/2025\/08\/10\/fibonacci-e-seu-liber-abaci\/"},"modified":"2025-08-10T00:00:00","modified_gmt":"2025-08-10T04:00:00","slug":"fibonacci-e-seu-liber-abaci","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/2025\/08\/10\/fibonacci-e-seu-liber-abaci\/","title":{"rendered":"Fibonacci e seu Liber Abaci"},"content":{"rendered":"\n

Acima, a p\u00e1gina do Liber Abaci mostrando o famoso problema dos coelhos.<\/em><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240\/1250) \u00e9 o mais interessante matem\u00e1tico do s\u00e9culo XIII. Nascido em Pisa, na It\u00e1lia, mudou-se ainda jovem com o pai, Guglielmo dei Bonacci, para a cidade de Bugia, na Arg\u00e9lia, onde passou parte de sua vida. Matem\u00e1tico e escritor, \u00e9 autor do influente Liber Abaci<\/em> (Livro do \u00c1baco), obra que termos a oportunidade de conhecer a seguir.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Ter morado na Arg\u00e9lia, no norte da \u00c1frica, n\u00e3o<\/em> \u00e9 um detalhe na vida de Fibonacci. Pelo contr\u00e1rio, \u00e9 sua parte mais importante: foi no milenar porto de Bugia, onde eram embarcadas as mercadorias vindas do Oriente em dire\u00e7\u00e3o \u00e0 Europa, que Leonardo, posteriormente apelidado Fibonacci<\/em> (de filho de Bonacci<\/em>), deu in\u00edcio a seus estudos da matem\u00e1tica \u00e1gil usada pelos \u00e1rabes em suas transa\u00e7\u00f5es comerciais.<\/p>\n\n\n\n

Compelido por sua pr\u00e1tica de comerciante, Fibonacci foi estudar em Constantinopla, onde aprendeu principalmente nos livros de Al-Khwarizmi<\/a> e de muitos outros matem\u00e1ticos \u00e1rabes. Tomou contato com os algarismos indo-ar\u00e1bicos e com as t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo facilitadas por eles. Lembremo-nos de que na Europa, naquela \u00e9poca, as opera\u00e7\u00f5es aritm\u00e9ticas que hoje realizamos com facilidade eram laboriosamente feitas com \u00e1bacos e algarismos romanos. Toda essa tradi\u00e7\u00e3o de c\u00e1lculo seria rapidamente esquecida com a introdu\u00e7\u00e3o das novas t\u00e9cnicas que Fibonacci levaria em seu mais conhecido livro.<\/p>\n\n\n\n

No Liber Abaci<\/em> (pronunciamos l\u00edber \u00e1baki<\/em>), Fibonacci introduz o modo dos hindus<\/em>, a maneira como os indianos realizavam opera\u00e7\u00f5es. No in\u00edcio de seu livro, escreve:<\/p>\n\n\n\n

\n

Estas s\u00e3o as nove figuras dos Indianos:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Com estas nove figuras, e com o sinal 0, que em \u00e1rabe \u00e9 chamado de z\u00e9firo, qualquer n\u00famero pode ser escrito.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Mas os n\u00fameros ainda n\u00e3o tinham esse formato. Basta uma olhadela na p\u00e1gina que ostenta o famoso problema dos coelhos<\/em>, no in\u00edcio deste texto, para constatarmos que o formato de nossos algarismos ainda sofreriam algumas muta\u00e7\u00f5es. E, em verdade, n\u00e3o foi a primeira vez que apareceram na Europa: o matem\u00e1tico Gerbert d’Aurillac (c. 950 – 1003), que se tornaria o papa Silvestre II, j\u00e1 os conhecia e com eles operava, cerca de duzentos anos antes.<\/p>\n\n\n\n

Levaria ainda algum tempo para que o Liber Abaci<\/em> exercesse alguma influ\u00eancia nas pr\u00e1ticas de c\u00e1lculo de seu tempo. Fibonacci escreveria outros livros, como o Practica Geometriae<\/em> (Pr\u00e1tica de Geometria), o Flos<\/em> (Flor) e o Liber Quadratorum<\/em> (Livro dos Quadrados), mas apenas o Liber Abaci<\/em> seria destinado tanto a acad\u00eamicos quanto a comerciantes.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 nesse livro que surge o famoso problema dos coelhos<\/em> (veja a imagem no in\u00edcio desta postagem), que d\u00e1 origem \u00e0 sequ\u00eancia de Fibonacci<\/em>, objeto de admira\u00e7\u00e3o e estudo por amadores e matem\u00e1ticos profissionais, dada sua aparente onipresen\u00e7a em muitas \u00e1reas da matem\u00e1tica pura e aplicada, assim como na f\u00edsica, na qu\u00edmica, na biologia, nas engenharias e at\u00e9 nas artes. E o problema \u00e9 o seguinte:<\/p>\n\n\n\n

\n

Quantos pares de coelhos s\u00e3o gerados a partir de um par em um ano?<\/em>
Algu\u00e9m p\u00f5e um par de coelhos em um certo lugar totalmente cercado por um muro para saber quantos pares de coelhos s\u00e3o gerados a partir desse par inicial em um ano. A natureza desses coelhos \u00e9 tal que a cada m\u00eas um par de coelhos produz outro par, e coelhos come\u00e7am a gerar coelhos a partir do segundo m\u00eas ap\u00f3s seu nascimento.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Sua solu\u00e7\u00e3o d\u00e1 origem \u00e0 sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…<\/p>\n\n\n\n

\u00e0 qual foi acrescentada os n\u00fameros 0 e 1, passando a ser escrita como <\/p>\n\n\n\n

0 1<\/strong> 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377\u2026<\/p>\n\n\n\n

Essa sequ\u00eancia \u00e9 formada recursivamente<\/em>: a soma de dois n\u00fameros sucessivos forma o terceiro. Por exemplo: [katex display=”true”]0 + 1 = 1 \\ 1 + 1 = 2 \\ 1 + 2 = 3 \\ 2 + 3 = 5 \\ 3 + 5 = 8[\/katex] e assim sucessivamente. Observe que a sequ\u00eancia apresenta um padr\u00e3o do tipo par-\u00edmpar-\u00edmpar<\/em>: 0, 1, 1, depois 2, 3, 5 e assim por diante. Observe tamb\u00e9m que se voc\u00ea pegar o n\u00famero seguinte e dividir pelo n\u00famero anterior, voc\u00ea formar\u00e1 uma sequ\u00eancia que se aproximar\u00e1 do n\u00famero 1,618…:<\/p>\n\n\n\n

[katex display=”true”]8\/5 = 1,6…\\13\/8 = 1,625…\\21\/13 = 1,615…\\34\/21 = 1,619…\\55\/34 = 1,617…\\89\/55 = 1,618…[\/katex]<\/p>\n\n\n\n

e assim por diante, convergindo para aquele que \u00e9 visto como um dos mais not\u00e1veis n\u00fameros da matem\u00e1tica, a constante [katex]phi = 1,61803398875dots [\/katex] (pronunciamos fi<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Essa constante surge no antigo problema de se dividir um segmento em m\u00e9dia e extrema raz\u00e3o,<\/em> que significa encontrar um ponto em um segmento que o divida em duas partes, uma maior e uma menor, de tal maneira que a raz\u00e3o (divis\u00e3o) do segmento todo pelo segmento maior \u00e9 a mesma raz\u00e3o (divis\u00e3o) do segmento maior pelo segmento menor. Essa \u00e9 a chamada raz\u00e3o \u00e1urea<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Embora pare\u00e7a abstrata, a raz\u00e3o \u00e1urea \u00e9 usada por alguns artistas para dar um certo balan\u00e7o em suas obras, sejam elas literatura, m\u00fasica ou artes visuais. H\u00e1 quem diga que ela aparece nas propor\u00e7\u00f5es de tudo o que \u00e9 belo e equilibrado, tanto na natureza quanto nas obras humanas, afirma\u00e7\u00e3o que beira mais a supersti\u00e7\u00e3o do que a evid\u00eancia cient\u00edfica. No entanto, \u00e9 verdade que [katex]phi[\/katex] aparece aqui e ali em bel\u00edssimos teoremas da geometria e da teoria dos n\u00fameros. Mas \u00fanica evid\u00eancia que temos, depois de pesquisarmos com calma o assunto, \u00e9 que basta um empurr\u00e3ozinho em mentes menos cr\u00edticas para provocar uma avalanche de crendices populares.<\/p>\n\n\n\n

O Liber Abaci<\/em> tamb\u00e9m lida com medidas, moedas, c\u00e1lculo de lucro e de juros, n\u00fameros perfeitos, n\u00fameros primos e compostos, n\u00fameros irracionais, extra\u00e7\u00e3o de ra\u00edzes e algumas demonstra\u00e7\u00f5es de geometria. \u00c9 um livro de interesse tanto pr\u00e1tico quanto te\u00f3rico, o que garantiu sua sobreviv\u00eancia e utilidade pelos s\u00e9culos seguintes. E, como muitos outros livros interessantes da hist\u00f3ria, n\u00e3o conhece sequer cheiro de tradu\u00e7\u00e3o para o portugu\u00eas…<\/p>\n\n\n\n

Discuss\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Como voc\u00ea acha que Fibonacci resolveu o problema dos coelhos?<\/li>\n\n\n\n
  2. O \u00e1baco \u00e9 um instrumento que assume muitas formas em diferentes pa\u00edses. \u00c9 bastante utilizado na educa\u00e7\u00e3o b\u00e1sica com muito bons resultados. Aprenda a operar um deles, o soroban<\/em> (\u00e1baco japon\u00eas), e teste seus conhecimentos fazendo 437 + 585.<\/li>\n\n\n\n
  3. A sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 t\u00e3o admir\u00e1vel que um ex\u00e9rcito de amadores e profissionais passaram a v\u00ea-la em muitos lugares. Um desses \u00e9 na natureza: na infloresc\u00eancia do girassol, nas propor\u00e7\u00f5es dos animais e at\u00e9 nos bra\u00e7os da gal\u00e1xia. Toda a natureza se estruturaria segundo “padr\u00f5es de Fibonacci”: a matem\u00e1tica est\u00e1 mesmo em tudo ou somos n\u00f3s que queremos v\u00ea-la assim, onipresente?<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Para saber mais<\/strong><\/p>\n\n\n\n