{"id":8283,"date":"2020-06-22T00:00:00","date_gmt":"2020-06-22T04:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/old.fredlopes.com.br\/newton-e-os-infinitesimos\/"},"modified":"2020-06-22T00:00:00","modified_gmt":"2020-06-22T04:00:00","slug":"newton-e-os-infinitesimos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/matematica\/historia-da-matematica\/newton-e-os-infinitesimos\/","title":{"rendered":"Newton e os infinit\u00e9simos"},"content":{"rendered":"\n

Isaac Newton (1642 – 1727), um cientista t\u00edmido e reservado, foi para o s\u00e9culo XVIII o que Albert Einstein (1879 – 1955) foi para o s\u00e9culo XX: um g\u00eanio que mudou o paradigma da ci\u00eancia de seu tempo. Talvez ainda mais do que Einstein, Newton foi n\u00e3o s\u00f3 um criador de uma nova maneira de pensar a ci\u00eancia natural, mas tamb\u00e9m um matem\u00e1tico original e profundo que forjou os instrumentos intelectuais do mundo moderno.<\/p>\n\n\n\n

H\u00e1 tanto o que falar de Newton, o \u00faltimo dos magos e o primeiro dos modernos, que toda escolha \u00e9 uma severa ofensa a sua obra multifacetada. Todavia, limitaremos este texto a um aspecto de seu trabalho sobre uma das mais importantes ferramentas matem\u00e1ticas da humanidade: o c\u00e1lculo.<\/p>\n\n\n\n

Foi no livro The Method of Fluxions <\/em>(O m\u00e9todo das flux\u00f5es), escrito em 1671 mas publicado postumamente em 1736, que Newton apresentou seu m\u00e9todo das flux\u00f5es<\/em>, o nome do que hoje conhecemos como derivadas.<\/em> Derivadas est\u00e3o no cora\u00e7\u00e3o do chamado c\u00e1lculo diferencial e integral<\/em> e na raiz da revolu\u00e7\u00e3o cient\u00edfica operada por Newton e seus contempor\u00e2neos. Mas por que s\u00e3o assim t\u00e3o importantes?<\/p>\n\n\n\n

Derivadas aparecem em todos os lugares. Quando medimos a velocidade<\/em> em quil\u00f4metros por hora (km\/h), a corrente el\u00e9trica<\/em> em coulombs por segundo (C\/s), a vaz\u00e3o<\/em> em litros por segundo (l\/s), estamos falando de derivadas. De maneira simplificada, Newton descobriu como, dada a equa\u00e7\u00e3o da trajet\u00f3ria de um planeta, encontrar a equa\u00e7\u00e3o de sua velocidade, e vice-versa. Newton derivou<\/em> uma equa\u00e7\u00e3o de outra, e essa foi a origem do nome derivada<\/em> — nome que ele n\u00e3o utilizou.<\/p>\n\n\n\n

Geometricamente, o problema envolve encontrar retas tangentes a curvas. O processo \u00e9 simples uma vez entendido, mas cri\u00e1-lo n\u00e3o foi nada f\u00e1cil. Matem\u00e1ticos, desde a antiguidade, desenvolveram m\u00e9todos pr\u00f3prios para resolver problemas particulares, mas nenhum m\u00e9todo geral que se aplicasse a todas as equa\u00e7\u00f5es ent\u00e3o conhecidas. Newton desenvolveu seu pr\u00f3prio m\u00e9todo fazendo uso de um conceito controverso na hist\u00f3ria da matem\u00e1tica: os infinit\u00e9simos<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

Tome um n\u00famero positivo bem pequeno, mas que n\u00e3o seja zero. Suponha que esse n\u00famero seja 0,01. \u00c9 poss\u00edvel pensar um n\u00famero menor? Sim, e at\u00e9 um dez vezes menor: 0,001. \u00c9 poss\u00edvel pensar em um menor ainda? Sim: 0,0001, novamente dez vezes menor do que o anterior, e assim sucessivamente. Um infinit\u00e9simo \u00e9 menor que todos esses n\u00fameros imagin\u00e1veis, e ainda assim n\u00e3o \u00e9 zero. Como isso \u00e9 poss\u00edvel?<\/p>\n\n\n\n

No conjunto dos n\u00famero reais, isso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel. Mesmo assim, Newton fez uso dos infinit\u00e9simos bem ciente de suas contradi\u00e7\u00f5es. Empregou-os com coragem para resolver uma s\u00e9rie de problemas persistentes, em linha com outros matem\u00e1ticos de s\u00e9culos anteriores que operaram com essas aparentes aberra\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas sem muitos pudores. Mas, por temer cr\u00edticas e controv\u00e9rsias, Newton postergou indefinidamente a publica\u00e7\u00e3o de seus resultados.<\/p>\n\n\n\n

Vamos a um exemplo bem simples. Considere a equa\u00e7\u00e3o mais simples de uma par\u00e1bola, f(x)=x2<\/sup>, e considere que precisamos encontrar uma reta tangente em um ponto A(x, y) qualquer, como mostra a figura a seguir:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Reta (em vermelho) tangenciando a curva f (em azul) no ponto A<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Em um determinado momento do processo de encontrar a derivada, Newton introduziria o infinit\u00e9simo “o<\/em>” e faria o quociente<\/p>\n\n\n\n

[latex display=”true”]frac{(x + o)^2 – x^2}{(x+o)-x} = frac{2xo+o^2}{o} = 2x+o[\/latex]<\/p>\n\n\n\n

Depois, sem mais delongas, desprezaria o n\u00famero “o<\/em>” e encontraria a equa\u00e7\u00e3o derivada 2x. O problema? Introduzir no processo algo diferente de zero e depois desprez\u00e1-lo como se fosse zero.<\/p>\n\n\n\n

Newton sabia bem disso, como sabiam todos os matem\u00e1ticos que utilizaram infinit\u00e9simos. Tudo funcionava maravilhosamente, mas ningu\u00e9m conseguiu ignorar um elefante que surgiu na sala: o m\u00e9todo parecia corroer as bases l\u00f3gicas do edif\u00edcio da matem\u00e1tica. Nunca na hist\u00f3ria das ci\u00eancias um elefante t\u00e3o diminuto causou tantos problemas.<\/p>\n\n\n\n

Apesar dos contratempos, o m\u00e9todo das flux\u00f5es continha os germes da ideia moderna de limites<\/em>, usada para formalizar o conceito de derivadas e expulsar as contradi\u00e7\u00f5es que os infinit\u00e9simos criavam. Mas, para isso, um complicado formalismo teve que ser introduzido no c\u00e1lculo, gerando uma sopa de letrinhas intrag\u00e1vel que os pobres coitados dos estudantes de exatas devem digerir nos modernos — e antipedag\u00f3gicos — cursos universit\u00e1rios de c\u00e1lculo.<\/p>\n\n\n\n

Discuss\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Newton escreveu uma quantidade impressionante de artigos sobre alquimia e teologia, muito mais do que sobre f\u00edsica e matem\u00e1tica. No entanto, apenas estes \u00faltimos tiveram influ\u00eancia duradoura, enquanto os livros de teologia e alquimia foram esquecidos pela hist\u00f3ria. Por que voc\u00ea acha que isso aconteceu?<\/li>\n\n\n\n
  2. Os infinit\u00e9simos foram usados com sucesso durante s\u00e9culos, antes e depois de Newton. Foram descartados pelos matem\u00e1ticos do s\u00e9culo XIX, preocupados com o rigor, e redescobertos na segunda metade do s\u00e9culo XX. As contradi\u00e7\u00f5es que geravam foram domadas e seu emprego foi reabilitado. Ainda assim, pouqu\u00edssimos os utilizam atualmente. Voc\u00ea acredita que ideias cient\u00edficas t\u00eam seu tempo, e que, uma vez superadas, n\u00e3o \u00e9 mais poss\u00edvel reutiliz\u00e1-las?<\/li>\n\n\n\n
  3. Quais s\u00e3o os motivos para que as disciplinas de c\u00e1lculo diferencial e integral sejam as maiores reprovadoras nas universidades?<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Para saber mais<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      \n
    • c\u00e1lculo diferencial e integral<\/li>\n\n\n\n
    • teorema fundamental do c\u00e1lculo<\/li>\n\n\n\n
    • infinit\u00e9simo<\/li>\n\n\n\n
    • limites e nota\u00e7\u00e3o [latex]epsilon – delta[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Pagina de rosto do livro M\u00e9todo das flux\u00f5es.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":8504,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-8283","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/8283","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8283"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/8283\/revisions"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/8504"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/backup.fredlopes.com.br\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8283"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}